1998年数学三考研真题答案解析
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1
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
1
e
【解析】曲线
n
y x
在点
(1,1)
处的切线斜率
1x
y
1
n
x
x
1
1
n
x
n x n
,根据点斜
式,切线方程为：
1 ( 1).y n x
令
0y
,代入
1 ( 1)y n x
,则
1
1xn
,即在
x
轴上的截距为
1
1
nn
,
lim ( )
n
nf
lim n
n
n
1
lim(1 )n
nn
1
1
lim(1 ) x
xx
1
e
.
(2)【答案】
ln xC
x
【解析】由分部积分公式,
2
ln 1xdx
x
1
ln 1x dx
x
1
ln 1
x d x
ln 1 1 (ln 1)
xd x
x x
分部
2
ln 1 1xdx
x x
ln 1 1xdx
x x
ln 1 1xC
x x
ln xC
x
.
【相关知识点】分部积分公式：假定
( )
u u x
与
( )
v v x
均具有连续的导函数,则
,uv dx uv u vdx
或者
.udv uv vdu
(3)【答案】
5 1
( 5) ( )
12 6
t
t
y C t
【解析】首先把差分方程改写成标准形式
1
5
52
t t
y y t
,其齐次方程对应的特征方程及
特征根分别为
5 0, 5,r r
故齐次方程的通解为
( 5) ,
t
t
Y C C
为常数.
将方程右边的
5
2t
改写成
51
2
t
t
,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为
,
t
y At B
2
从而
1( 1) ,
t
y A t B
代入原方程,得
5
( 1) 5( ) ,
2
A t B At B t
5
6 , 6 0,
2
A A B
故
5 5
,
12 72
A B
.
于是通解为
5 1
( 5) ( ).
12 6
t
t t t
y Y y C t
(4)【答案】
2 0 0
0 4 0
0 0 2
【解析】由题设
*2 8A BA BA E
,
由于
2 0A
,所以
A
可逆.上式两边左乘
A
,右乘
1
A
,得
* 1 1 1
2 8AA BAA ABAA AA
2 8A B AB E
(利用公式：
* 1
,AA A E AA E
)
2 8A B AB E
(移项)
2 8A E A B E
(矩阵乘法的运算法则)
将
2A
代入上式,整理得
1
4E A B E
.
由矩阵可逆的定义,知
E A
,B
均可逆,且
1
14
B E A
110 0
2 0 0 2
4 0 1 0 4 0 1 0
0 0 2 1
0 0 2
2 0 0
0 4 0
0 0 2
.
(5)【答案】
1 1
, ,2
20 100
【解析】由于
1 2 3 4
, , ,X X X X
相互独立,均服从
2
(0,2 )N
,所以由数学期望和方差的性质,
得
2 2 2
1 2 1 2
( 2 ) 0, ( 2 ) 1 2 2 2 20E X X D X X
,
所以
1 2
( 2 ) (0,20)X X N
,同理
3 4
(3 4 ) (0,100)X X N
.
3
又因为
1 2
( 2 )X X
与
3 4
(3 4 )X X
相互独立,且
1 2
1( 2 ) (0,1)
20 X X N
；
3 4
1(3 4 ) (0,1)
100 X X N
,
由
2
分布的定义,当
1 1
,
20 100
a b
时,
2 2 2
1 2 3 4
11
( 2 ) (3 4 ) (2)
20 100
X X X X X
.
即当
1 1
,
20 100
a b
时,
X
服从
2
分布,其自由度为
2
.
严格地说,当
1
0, 100
a b
时,
2(1)X
；当
1, 0
20
a b
时,
2(1)X
也是正确的.
【相关知识点】1、对于随机变量
X
与
Y
均服从正态分布,则
X
与
Y
的线性组合亦服从正态
分布.若
X
与
Y
相互独立,由数学期望和方差的性质,有
( ) ( ) ( )E aX bY c aE X bE Y c
,
2 2
( ) ( ) ( )D aX bY c a D X b D Y
,
其中
, ,
abc
为常数.
2、定理：若
2
( , )X N
,则
(0,1)
XN
.
3、
2
分布的定义：若
1, , n
Z Z
相互独立,且都服从标准正态分布
(0,1)N
,则
2 2
1
~ ( )
n
i
i
Z n
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】根据导数定义：
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
f x x
0
(1) (1 )
lim 2
x
f f x
x
0
1 (1 ) (1)
lim
2x
f x f
x
1(1)
2f
1
所以
0
(1 ) (1)
(1) lim 2.
x
f x f
fx
因为
( )f x
周期为4,
( )f x
的周期亦是4,即
( ) ( 4)f x f x
,
所以
(5)f
(1 4)f
(1) 2f
.
所以曲线
( )y f x
在点
5, (5)f
处的切线的斜率为
(5)f
(1) 2f
.选(D).
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