1997年数学三考研真题答案解析
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1
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1)【答案】
( ) 1
[ ln ln ]
f x
e f x f x f x dx
x
【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：
由
( )
(ln ) f x
y f x e
可知
( ) ( )
( )
1ln ln
1
[ ln ln ] .
f x f x
f x
dy f x e dx f x e f x dx
x
e f x f x f x dx
x
(2)【答案】
4
【分析】本题中
1
0( )f x dx
是个常数,只要定出这个数问题就解决了.
【解析】令
1
0( )f x dx A
,则
2
2
1
( ) 1
1
f x A x
x
,两边从0到1作定积分得
1 1 2
2
0 0 1
1
dx
A A x dx
x
1
0
arctan 4 4 4
x A A
,
解得
4
A
.
【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分
12
01x dx
表示单位圆
在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.
(3)【答案】
( 2)2t
t
y C t
【解析】对应的齐次差分方程是
10
t t
y y
,显然有不恒等于零的特解
1
t
y
.
因方程的右端函数
( ) 2t
f t t
,可设非齐次差分方程的特解有形式
( )2t
y At B
,
代入方程得
( 2 )2 2 , 0,1,2, .
t t
At A B t t
由于
2 0
t
,于是
2 , 0,1,2, .At A B t t
可确定
1, 2A B
,即非齐次差分方程有一个特解是
( 2)2t
y t
.
从而,差分方程的通解是
( 2)2t
t
y C t
.
(4)【答案】
2 2t
2
【解析】二次型
1 2 3
( , , )f x x x
对应的矩阵为
2 1 0
1 1 2
0 1
2
t
A
t
.
因为
f
正定
A
的顺序主子式全大于零.又
2
1 2 3
2 1 1
21 1
1 1 2
,, A t
,
故
f
正定
2
1
1 0
2t
,即
2 2t
.
(5)【答案】
t
分布,参数为9
【解析】由
1 9
, ,
X X
是来自总体
X
的简单随机样本,故
1 9
, ,
X X
独立,且都服从正态
分布
2
(0,3 )N
.类似有
1 9
, ,Y Y
相互独立,且都服从正态分布
2
(0,3 )N
.
又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即
2
1 9 ~ ( , )X X X N
.
其中
1 9
( ) ( )E X E X X
,
2
1 9
( ) ( )D X D X X
.
由期望的性质,
1 9 1 2 9
( ) ( ) 0E X E X X EX EX EX
；
由独立随机变量方差的性质,
2
19 1 9
( ) ( ) 81D X D X X DX DX
,
故
2
~ (0,9 )X N
.
因
2
1 9
, , ~ (0,3 )Y Y N
,故
0~ (0,1),( 1,2, ,9)
3
i
YN i
,所以,
2
92
1
~ (9)
3
i
i
Y
Y
.
由
t
分布的定义,现已有
2
~ (0,9 )
X N
,将其标准化得
0~ (0,1)
9
XN
,故
0
9~ (9)
9
X
t
Y
.
化简有
~ (9)
9
Xt
Y
,即
191 9
2 2
221 9
1 9
~ (9)
1
9 ( )
9
X X X X t
Y Y
Y Y
.
3
【相关知识点】1.数学期望的性质：
( ) ( ) ( )E aX bY c aE X bE Y c
,其中
, ,abc
为
常数.
2.方差的性质：
X
与
Y
相互独立时,
2 2
( ) ( ) ( )
D aX bY c a D X b D Y
,其中
, ,abc
为常
数.
3.
2
分布的定义：若
1, , n
Z Z
相互独立,且都服从标准正态分布
(0,1)N
,则
2 2
~ (1)
i
Z
,
2 2
1
~ ( )
n
i
i
Z n
.
4.若
2
~ ( , )Z N u
,则
~ (0,1)
Z u N
.
5.
t
分布的定义：若
~ (0,1)X N
,
2
~ ( )
Y n
,
,X Y
独立,则
~ ( )
X
T t n
Yn
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)【答案】(B)
【分析】只要求出极限
0
( )
lim ( )
x
f x
g x
就能判断出正确的选项.
【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得
1 cos 22
0
5 6 4
0 0 0
5
2
44
0 0 0
sin
( ) (sin )sin(1 cos )
lim lim lim
( ) (1 )
5 6
1
1 (1 cos ) 4
lim lim lim 0,
1
x
x x x
xxx
t dt
f x x x
x x
g x x x
x
x x
x x x
故应选(B).
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若
( )
( )
( ) ( )
t
t
F t f x dx
,
( )t
,
( )t
均一
阶可导,则
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t t f t t f t
.
2.无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,
( ), ( )x x
为无穷小且存在极限
( )
lim ( )
xl
x
,
(1)若
0,l
称
( ), ( )x x
在该极限过程中为同阶无穷小；
(2)若
1,l
称
( ), ( )x x
在该极限过程中为等价无穷小,记为
( ) ( )x x
；
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