1996年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
1 ln
dx
x y
【解析】方法1：方程
y
x y
两边取对数得
ln ln ln
y
x y y y
,再两边求微分,
1 1
ln 1 ln 1
dx y dy dy dx
xx y
ln 1 0x y
.
方法2：把
y
x y
变形得
lny y
x e
,然后两边求微分得
ln ln 1 ln 1 ln
y y y
dx e d y y y y dy x y dy
,
由此可得
1.
1 ln
dy dx
x y
(2)【答案】
3
2
11
3x C
【解析】由
( ) arcsin
xf x dx x C
,两边求导数有
2
2
1 1
( ) arcsin 1
( )
1
xf x x x x
f x
x
,
于是有
1
( )dx
f x
2 2 2
1
1 1
2
x x dx x dx
22
11 1
2x d x
3
2
11
3x C
.
(3)【答案】
0
c
a
(或
2
0
ax c
),
b
任意
【解析】对
2
y ax bx c
两边求导得
0 0
2 2y ax b, y x ax b,
所以过
0 0
x ,y
的切线方程为
0 0 0
2
y y ax b x x ,
即
2
0 0 0 0
2y ax bx c ax b x x .
又题设知切线过原点
0 0,
,把
0x y
代入上式,得
2 2
0 0 0 0
2
ax bx c ax bx ,
即
2
0
ax c.
2
由于系数
0a
,所以,系数应满足的关系为
0
c
a
(或
2
0
ax c
),
b
任意.
(4)【答案】
1 0 0 0 T
,,,
【解析】因为
A
是范德蒙行列式,由
i j
a a
知
0
i j
A a a
.根据解与系数矩阵
秩的关系,所以方程组
T
A X B
有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
211
1 1 1
2 1 2
2 2 2
2 1 3
3 3 3
2 1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
nn
n n n
x
a a a
x
a a a
x
a a a
x
a a a
,
易见
12 3 0
n
D A ,D D D .
所以
T
A X B
的解为
1 2 3
1 0
n
x ,x x x
,即
1 0 0 0 T
, , , ,
.
【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
或简记为
1
1 2
n
ij j i
j
a x b , i , , ,n
其系数行列式
11 12 1
21 22 2
1 2
0
n
n
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
,
则方程组有唯一解
1 2
j
j
D
x , j , , ,n.
D
其中
j
D
是用常数项
1 2 n
b ,b , ,b
替换
D
中第
j
列所成的行列式,即
3
11 1 1 1 1 1 1
21 2 1 2 2 1 2
1 1 1
,j ,j n
,j ,j n
j
n n, j n n,j nn
a a b a a
a a b a a
D
a a b a a
.
(5)【答案】
(4.412,5.588)
【解析】可以用两种方法求解：
(1)已知方差
2 2
0.9
,对正态总体的数学期望
进行估计,可根据
因
2
( ,0.9 )X N
,设有
n
个样本,样本均值
1
1n
i
i
X X
n
,
有
2
0.9
( , )X N n
,将其标准化,由公式
( ) ~ (0,1)
( )
X E X N
D X n
得：
)1,0(~
1N
n
X
由正态分布分为点的定义
2
1
1
X
P u
n
可确定临界值
2
u
,
进而确定相应的置信区间
2 2
( , )x u x u
n n
.
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值
的置信区间问题.
由教材上已经求出的置信区间
2 2
,x u x u
n n
,
其中
2
1 , (0,1)P U u U N
,可以直接得出答案.
方法1：由题设,
95.01
,可见
.05.0
查标准正态分布表知分位点
.96.1
2
u
本
题
9n
,
5X
,因此,根据
95.0}96.1
1
{
n
X
P
,有
5
{ 1.96} 0.95
19
P
,即
{4.412 5.588} 0.95P
,
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