1995年数学三考研真题答案解析
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1
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
1
2( 1) !
(1 )
n
n
n
x
【解析】由于
1
1 2
( ) 1 2(1 ) 1,
1 1
x
f x x
x x
2
( ) 2 ( 1)(1 ) ,f x x
3
( ) 2 ( 1)( 2)(1 ) , ,f x x
所以
1
( ) ( 1)
( ) 2 ( 1) !( 2(
1 ) 1) !
(1 )
nnnn
n
f x x n
x
n
.
(2)【答案】
2y
xyf x
【解析】根据复合函数求导法则,
2
2
x
y y y y y y
z yf xyf yf f
x x x x x x
,
1
y
y y y y
z xf xyf xf yf
x x x x x
.
所以
2 2 2
x y
y y y y y
yf y f xyf y f yf
x x x x x
xz yz x x
.
【相关知识点】复合函数求导法则：
( ( ))y f x
的导数为
( ( )) ( )y f x f x
.
(3)【答案】
x
x e C
【解析】在
(ln ) 1f x x
中令
ln x t
,则
( ) 1 t
f t e
,从而
( ) 1 ( )
tt x
f t e dt t e C f x x e C
.
(4)【答案】
1 0 0
12 2 0
10 3 4 5
【解析】由
AA A E
,有
AA E
A
,故
1A
AA
.
2
而
1 0 0
2 2 0 10
3 4 5
A
,
所以
11 0 0
12 2 0
10 3 4 5
A
AA
.
(5)【答案】
( 1)
Xn n
Q
【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先
提出原假设
0
H
,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设
0
H
是否成
立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值
的假设检验问题.据此类
型应该选取
t
检验的统计量是
0
2
1
1( )
( 1)
n
i
i
XX
tSX X
nn n
,
经过化简得
( 1)
X
t n n
Q
.
【相关知识点】假设检验的一般步骤：
(1)确定所要检验的基本假设
0
H
；
(2)选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；
(3)对确定的显著性水平
,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；
(4)由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设
0
H
作出拒绝还是接受的判
断.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】因
0 0
(1 ) (1) (1 ) (1)
(1) lim lim
xx
f x f f x f
f x x
x x
0
0
(1) (1 )
lim
(1) (1 )
2lim 2,
2
x
x
f f x
x
f f x
x
所以应选(D).
(2)【答案】(A)
3
【解析】由计算知
11
1
2
1
1arcsin
1dx x
x
,
2
22
1 1 1
ln ln ln 2
dx
x x x
,
且泊松积分
2
02
x
e dx
,
故应选(A).
注：对于本题选项(A),由于当
0x
时
sin 0x
,故在积分区间
[ 1,1]
中
0x
是瑕点,反常
积分
1
1
1
sin dx
x
应分解为两个反常积分之和:
1 0 1
1 1 0
1 1 1
sin sin sin
dx dx dx
x x x
,
而且
1
1
1
sin dx
x
收敛的充要条件是两个反常积分
0
1
1
sin dx
x
与
1
0
1
sin dx
x
都收敛.
由于广义积分
1
1
00
1ln tan
sin 2
x
dx
x
,
即
1
0
1
sin dx
x
发散,故
1
1
1
sin dx
x
发散.
在此不可误以为
1
sin x
是奇函数,于是
1
1
10
sin dx
x
,从而得出它是收敛的错误结论.
(3)【答案】(C)
【解析】
( )r A m
表示
A
中有
m
个列向量线性无关,有
m
阶子式不等于零,并不是任意
的,因此(A)、(B)均不正确.
经初等变换可把
A
化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不
一定能化为标准形.例如
0 1 0
0 0 1
,只用初等行变换就不能化成
2
( ,0)E
的形式,故(D)不正
确.关于(C),由
0BA
知
( ) ( )r B r A m
,又
( )r A m
,从而
( ) 0r B
,按定义又有
( ) 0r B
,于是
( ) 0r B
,即
0B
.故应选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】
( , ) ( , )Cov U V Cov X Y X Y
.
( , ) ( , )Cov X X Y Cov Y X Y
( , ) ( , ) ( , ) ( , )Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y
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