1994年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
ln3
【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为
0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知
原式
2 2 2
2 2 2
2 2 0
2
2 2 2
x
xx
dx dx dx
x x x
22
2
0
1
2dx
x
2
2
0
ln (2 ) ln 6 ln 2 ln3.x
(2)【答案】
1
【解析】根据导数的定义,有
0 0
00
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x x
.
所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于
0 0
0
( 2 ) ( )
lim
x
f x x f x x
x
0 0 0 0
0
( 2 ) ( ) ( ) ( )
lim
x
f x x f x f x x f x
x
0 0 0 0 0 0
0 0
( 2 ) ( ) ( ) ( )
( 2)lim lim 2 ( ) ( ) 1.
2
x x
f x x f x f x x f x f x f x
x x
所以 原式
00 0
1
lim 1
( 2 ) ( ) 1
x
x
f x x f x x
.
(3)【答案】
sin
2
xy
xy
ye x
yxe y
【解析】将方程
2cos
xy
e y x
看成关于
x
的恒等式,即
y
看作
x
的函数.
方程两边对
x
求导,得
sin
( ) 2 sin 2
xy
xy
xy
ye x
e y xy yy x y xe y
.
【相关知识点】两函数乘积的求导公式：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x
.
2
(4)【答案】
1
2
1
1
0 0 0
10 0 0
1
00 0
1
0 0 0
n
n
a
a
a
a
【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式
11
1
00
00
AB
BA
,
且
11
1
2
2
1
1
1
n
n
a
a
aa
a
a
所以,本题对
A
分块后可得
1
1
2
1
1
0 0 0
10 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
n
n
a
a
A
a
a
.
(5)【答案】
9
64
【解析】已知随机变量
X
的概率密度,所以概率
1
2
0
1 1
2
2 4
P X xdx
,求得二项分
布的概率参数后,故
1
~ (3, )
4
Y B
.
由二项分布的概率计算公式,所求概率为
2
2
3
1 3 9
24 4 64
P Y C
.
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
3
若
( , )Y B n p
,则
(1 )
k k n k
n
P Y k C p p
,
0,1, ,k n
,
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
【解析】本题是关于求渐近线的问题.
由于
2
121
lim arctan ( 1)( 2) 4
x
x
x x
ex x
,
故
4
y
为该曲线的一条水平渐近线.
又
2
12
0
1
lim arctan ( 1)( 2)
x
x
x x
ex x
.
故
0x
为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.
故本题应选(B).
【相关知识点】水平渐近线：若有
lim ( )
xf x a
,则
y a
为水平渐近线；
铅直渐近线：若有
lim ( )
x a f x
,则
x a
为铅直渐近线；
斜渐近线：若有
( )
lim , lim[ ( ) ]
xx
f x
a b f x ax
x
存在且不为
,则
y ax b
为斜渐
近线.
(2)【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
2 2
22
2
( 1) | | 1 1 1 1 1
2 2 2 2
n
nnn
aa a
n n
n
,
(第一个不等式是由
2 2
1
0, 0, ( )
2
a b ab a b
得到的.)
又
2
1n
n
a
收敛,
2
1
1
2
nn
收敛,(此为
p
级数：
1
1
p
nn
当
1p
时收敛；当
1p
时发散.)
所以
2
2
1
1 1
2 2
n
n
an
收敛,由比较判别法,得
2
1
( 1) | |
n
n
n
a
n
收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
(3)【答案】(C)
【解析】由公式
( ) min( ( ), ( ))r AB r A r B
,若
A
可逆,则
1
( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )r AB r B r EB r A AB r AB
.
从而
( ) ( )r AB r B
,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).
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