1993年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
999+
439.05KB
8 页
侵权投诉
1
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
6
5
【解析】
2 2
2
2
sin
3 5 2 3 5
lim sin 2lim lim 2
5 3 5 3
x x x
x x x
x x x x
x
,
极限
0
2
sin sin
lim lim 1
2
x t
t
xt
x
,而
2
2
3 5 6 3
lim lim
5 3 10 5
xx
x x
x x x
洛
,
所以
2
3 5 2 3 6
lim sin 2 1
5 3 5 5
x
x
x x
.
(2)【答案】
3
4
【解析】令
3 2
3 2
x
g x ,
x
则有
0 1g ,
2
12
3 2
g x x
,则
0 3g ,
由复合函数求导法则知
0
3
0 0 3 1 3arctan1 .
4
x
dy f g g f
dx
(3)【答案】
2
2 ln3
【解析】利用几何级数求和公式
0
1( 1),
1
n
n
x x
x
令
ln3
2
x
,即得
0
(ln3) 1 2 .
ln3
22 ln3
12
n
n
n
(4)【答案】
0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于
2r A
,说明
A
中3阶子式全为0,于是
A
的代数余子式
0
ij
A ,
故
0
*
A
.
所以秩
0
*
r A .
若熟悉伴随矩阵
*
A
秩的关系式
2
1 1
0 1
*
n, r A n,
r A , r A n ,
, r A n ,
易知
0
*
r A .
注：按定义
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
*
n n nn
A A A
A A A
A ,
A A A
伴随矩阵是
n
阶矩阵,它的元素是行列式
A
的代数余子式,是
1n
阶子式.
(5)【答案】
(4.804,5.196)
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值
的置信区间,可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因
X
的方差为
1
,设
X
的期望为
,则
(0,1)
/
X
U N
n
.
当置信度为
1 0.95
,时
0.05
,有正态分布表知
0.025
2
1.96u u
.因此用公式：
2 2
( , )
I x u x u
n n
.
将
2
5, 1, 100, 1.96x n u
代入上式,得到所求的置信区间为
(4.804,5.196)I
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当
0x
时,
2
1
sin x
为有界变量,
x
为无穷小量,则
2
00
1
lim lim sin 0
x x
f x x x
,且
0 0f .
于是
f x
在
0x
处连续.故(A)(B)不正确.
又因为
2 2
2
0 0 0
1 1
sin 0 sin 1 1
lim lim lim sin
0
x x x
x f x
x x
xxx
x
不存在,所以
f x
在
0x
处不可导,所以选(C).
【相关知识点】函数连续定义：如果函数在
0
x
处连续,则有
0 0 0
lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
f x f x f x
.
3
(2)【答案】(A)
【解析】
2 2
ln
1 1 1 1 1
ln .
f x
F x f x f f
x x x x x x
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
x
x
df t dt f x x f x x
dx
.
(3)【答案】(B)
【解析】
A A
有
n
个线性无关的特征向量.
由于当特征值
1 2
时,特征向量
1 2
,
线性无关.从而知,当
A
有
n
个不同特征值时,
矩阵
A
有
n
个线性无关的特征向量,那么矩阵
A
可以相似对角化.
因为当
A
的特征值有重根时,矩阵
A
仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).
(4)【答案】(D)
【解析】
( ) 1
P B A
的充分必要条件是
( ) 1
( )
P AB
P A
,即
( ) ( )P AB P A
.显然四个选项中,
当
A B
时,
AB A
,可得
( ) ( )P AB P A
.因此
A B
是
( ) 1P B A
的充分条件.因此
选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
( ) ( ) ( ) ( ) ,
x t
aa
a
F a x dx t dt x dx
随机变量
X
的密度函数为
( )x
,则
( ) 1x dx
,又由于
( ) ( )x x
,所以
0
0
1
( ) ( ) 2
x dx x dx
,(偶函数积分的性质)
即
0
0
1
( ) ( ) ( ) ( ) 2
a a
aa
x dx x dx x dx x dx
.
于是
0 0 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
aa a
a
F a x dx x dx x dx x dx x dx
.
故应选(B).
三、(本题满分5分)
【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
0
z y x z y x
dz dy dx e dx xe dz dy dx .
整理后得
1 1 1
z y x z y x z y x z y x
xe dz xe e dx xe dy.
【文档说明】1993年数学三考研真题答案解析 （共8页），文档为pdf格式，大小为439.05KB。
【文档链接】1993年数学三考研真题答案解析 转载请保留链接: https://www.yanyou.net/doc/29773.html
声明：研友网所有资料均为用户上传分享，仅供参考学习使用，版权归原作者所有。若侵犯到您的权益，请告知我们处理！任何个人或组织，在未征得本平台同意时，禁止复制、盗用、采集、发布本站内容到任何网站、书籍等各类媒体平台。
