1992年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设商品的需求函数为
100 5Q P
,其中
,Q P
分别表示为需求量和价格,如果商品需
求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.
(1)【答案】
(10,20]
【解析】根据
( ) 100 5 0Q P P
,得价格
20P
,又由
100 5Q P
得
( ) 5Q P
,
按照经济学需求弹性的定义,有
( ) 5
( ) 100 5
Q P P
PQ P P
,
令
5 5 1
100 5 100 5
P P
P P
,解得
10P
.
所以商品价格的取值范围是
(10,20]
.
(2)级数
2
1
( 2)
4
n
n
n
x
n
的收敛域为_________.
(2)【答案】
(0,4)
【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.
首先当
2 0x
即
2x
时级数收敛.
当
2x
时,后项比前项取绝对值求极限有
2( 1) 2 2
1 2
( 2) 4 ( 2) ( 2)
lim lim ,
( 1)4 ( 2) 4 1 4
n n
n n
n n
xn x n x
n x n
当
2
( 2) 1
4
x
,即当
0 2 2 0 2xx
或
2 4x
时级数绝对收敛.
又当
0x
和
4x
时得正项级数
1
1
nn
,由
p
级数：
1
1
p
nn
当
1p
时收敛；当
1p
时发散.
所以正项级数
1
1
nn
是发散的.
综合可得级数的收敛域是
(0,4)
.
注：本题也可作换元
2
( 2)x t
后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数
14
n
n
n
t
n
的收
2
敛性.
【相关知识点】收敛半径的求法：如果
1
n
lim n
n
a
a
,其中
1
,
n n
a a
是幂级数
0
n
n
n
a x
的相邻
两项的系数,则这幂级数的收敛半径
1, 0 ,
, 0,
0, .
R
(3)交换积分次序
2
1 2
0( , )
y
y
dy f x y dx
_________.
(3)【答案】
2 2
1 2 2
0 0 1 0
( , ) ( , )
xx
dx f x y dy dx f x y dy
【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式
( , ) .
D
f x y dxdy
由累次积分的内外层积分限确定积分区域
D
：
2
{( , ) 0 1, 2 }D x y y y x y
,
即
D
中最低点的纵坐标
0y
,最高点的纵坐标
1y
,
D
的左边界的方程是
x y
,即
2
y x
的右支,
D
的右边界的方程是
2
2x y
即
2 2 2x y
的右半圆,
从而画出
D
的图形如图中的阴影部分,从图形可见
1 2
D D D
,且
2
1
2
2
{( , ) 0 1,0 },
{( , ) 1 2,0 2 }.
D x y x y x
D x y x y x
所以
2 2 2
1 2 1 2 2
00 0 1 0
( , ) ( , ) ( , ) .
yx x
y
dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy
(4)设
A
为
m
阶方阵,
B
为
n
阶方阵,且
0
, , 0
A
A a B b C B
,则
C
________.
(4)【答案】
( 1)mn ab
【解析】由拉普拉斯展开式,
0( 1) ( 1)
0
mn mn
A
C A B ab
B
.
【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设
A
是
m
阶矩阵,
B
是
n
阶矩阵,则
x
y
D
1
2
O
3
*,
*
A O A A B
B O B
*1
*
mn
O A A A B
B B O
.
(5)将
, , , , , ,C C E E I N S
等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的
概率为__________.
(5)【答案】
1
1260
【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.
设所求概率为
( )P A
,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排
成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为
7!n
,而有利于事件
A
的样本点
数为
2! 2!
,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式
2! 2! 1
( ) 7! 1260
P A
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设
2
( ) ( )
x
a
x
F x f t dt
x a
,其中
( )f x
为连续函数,则
lim ( )
x a F x
等于 ( )
(A)
2
a
(B)
2( )a f a
(C)0 (D)不存在
(1)【答案】(B)
【解析】方法1:
lim ( )
x a F x
为“
0
0
”型的极限未定式,又分子分母在点
0
处导数都存在,
所以可应用洛必达法则.
22( )
lim ( ) lim ( ) lim
x
xa
a
x a x a x a
f t dt
x
F x f t dt a
x a x a
22
( )
lim ( )
1
x a
a f x a f a
.
故应选(B).
方法2:特殊值法.
取
( ) 2f x
,则
22
lim ( ) lim 2 2
x
a
x a x a
x
F x dt a
x a
.
显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若
( )
( )
( ) ( )
t
t
F t f x dx
,
( )t
,
( )t
均一阶可导,则
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t t f t t f t
.
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