1991年数学三考研真题答案解析

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1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1)【答案】

 

sin cos

e xy ydx xdy



【解析】方法一：先求出两个偏导数



和



,然后再写出全微分

sin sin

cos cos

xy xy

ze xy y ye xy

ze xy x xe xy



   







   







所以

sin sin

cos cos

xy xy

z z

dz dx dy ye xydx xe xydy

x y

 

   

 

sin cos ( )

e xy ydx xdy 

方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算

 

   

sin xy sin xy sin xy sin xy

dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy    

(2)【答案】

1a 

1b 

1c

【解析】由于曲线

 

f x

与

 

g x

都通过点

 

1 0, ,

则

 

1 1 0

1 0

f a

g b c

    





   





又曲线

 

f x

与

 

g x

在点

 

1 0,

有公切线,则

   

1 1f g

 

  

,即

 

1 3 3 1 2 2

f x a a g bx b



 

         

亦即

3 2a b  

,解之得

1a 

1b 

1c

(3)【答案】

 

1x n  

；

 

e 



【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式

      

nk n k

uv C u v 





可知,

( ) 0 ( ) 1 ( 1) 2 ( 2) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

nx n x n x n n n x

n n n n

f x C x e C x e C x e C x e

 



    

0 0 ( )

x x x

xe ne x n e      



对函数

     

g x f x



求导,并令

 

0g x



,得

 

( 1) ( ) ( 1) 0

n x

g x f x x n e



    

解之得驻点

 

1x n

  

,且

( ) 0, ( 1), ( )

g x x n g x

   



   



函数严格单调递减

函数严格单调递增；；

故

 

1x n  

是函数

     

g x f x

的极小值点,极小值为

( ) 1 1

( 1) ( 1) ( 1 )

nn n

g n f n n n e e

   

          

(4)【答案】



 

 

 

【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有

1 2

3 4

0 0

X X

A E

X X

B E

 

   



 

   

   

 

由对应元素或块相等,即

AX E

BX E

















从

和

均为可逆矩阵知

1 1

3 4 1 2

, 0, 0,X A X X X B

 

   

.故应填



 

 

 

(5)【答案】

1

{ }P X x

0.4 0.4 0.2

【解析】因为随机变量

的分布函数

( )F x

在各区间上的解析式都与自变量

无关,所以

在

( )F x

的连续点,

{ } 0P X x 

,只有在

( )F x

的间断点处

取值的概率才大于零,且

{ } { } { } ( ) ( 0)P X x P X x P X x F x F x       

,则

{ 1} ( 1) ( 1 0) 0.4P X F F       

{ 1} (1) (1 0) 0.8 0.4 0.4,P X F F

      

{ 3} (3) (3 0) 1 0.8 0.2.P X F F      

因此

的概率分布为

1

{ }P X x

0.4 0.4 0.2

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)

(1)【答案】(A)

【解析】由重要极限

lim(1 )x

  

可知,

极限

( 1) 1

1 1

lim(1 ) lim[1 ( )]

x x e

   

 

    

( 1) 1

1 1

lim(1 ) lim(1 )

xxe

   

 

   

而极限

0 0

1 1

1lim ln(1 ) lim ln(1 )

ln(1 )

lim(1 ) lim

x x x

xxx

x x e e e

 



 



 

   

令



,则

1 ln(1 ) 1

lim ln(1 ) lim lim 0

xx t t

 





  



洛

所以

lim ln(1 ) 0

lim(1 ) 1

xe e







   

故选项(A)正确.

(2)【答案】(D)

【解析】因为

2 2

( 1)n

n n

a a n

  

,由







收敛及比较判别法可知

( 1)n









绝对收敛.

即(D)正确.

另外,设

1( 1,2 )

a n

  

,则可知

(A)

1 1 1

2 2

n n n

an n

  

  

 

  

,(C)

11 1 2

1 2 1

2 2

n n n

ann

 

  

 

  

都不正确.

设

2 1 2

0, ( 1,2 )

n n

a a n

   

,则可知(B)不正确.

(3)【答案】(B).

【解析】由



为

的特征值可知,存在非零向量

,使得

AX X





两端同时乘以

,有

* *

( )

A X A AX





,由公式

A A A



得到

A X A X





.于是

* 1

A X A X







按特征值定义知





是伴随矩阵

的特征值.故应选(B).

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