1990年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子
3n n n n
.
3 ( 3 ) ( 3 )
lim( ) lim
13
nn
n n n n n n n n n n n n
n n n n
3
lim 3
n
n n n n
n n n n
,
再分子分母同时除以
n
,有原式
4
lim 3 1
1 1
n
n n
.
因为
lim 0
n
a
n
,其中
a
为常数,所以原式
42.
1 1
(2)【答案】
b a
【解析】由于
( )F x
在
0x
处连续,故
0
(0) lim ( )
x
A F F x
.
0
lim ( )
xF x
为“
0
0
”型的极限未定式,又
( )f x
在点
0
处导数存在,所以
0 0
( ) sin ( ) cos
lim lim 1
x x
f x a x f x a x
A b a
x
.
【相关知识点】函数
( )y f x
在点
0
x
连续：设函数
( )y f x
在点
0
x
的某一邻域内有定义,
如果
00
lim ( ) ( ),
x x f x f x
则称函数
( )f x
在点
0
x
连续.
(3)【答案】
1
42
【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令
22x x
,
解得
1x
和
2x
,故所围成的平面图形如右图所示:
所求面积为
22
12S x x dx
2
23
1
1 1 1
2 4 .
2 3 2
x x x
(4)【答案】
1 2 3 4 0
aaaa
x
y
O
2
1
2
【解析】由于方程组有解
( ) ( )r A r A
,对
A
作初等行变换,
第一行乘以
1
加到第四行上,有
1 1
2 2
3 3
4 1 4
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1
aa
a a
a a
aa a
,
第二行加到第四行上,再第三行乘以
1
加到第四行上,有
1
1
2
2
3
3
1 2 3 4
1 2 4
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0
a
a
a
a
a
a
a a a a
a a a
.
为使
( ) ( )r A r A
,常数
1 2 3 4
,,,aaaa
应满足条件:
1 2 3 4 0aaaa
.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设
A
是
m n
矩阵,线性方程组
Ax b
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵
A A b
的秩,即是
( ) ( )r A r A
(或者说,
b
可由
A
的列向量
1 2
, , , n
线表出,
亦等同于
1 2
, , , n
与
1 2
, , , ,
nb
是等价向量组).
设
A
是
m n
矩阵,线性方程组
Ax b
,则
（1）有唯一解
( ) ( ) .r A r A n
（2）有无穷多解
( ) ( ) .r A r A n
（3）无解
( ) 1 ( ).r A r A
b
不能由
A
的列向量
1 2
, , , n
线表出.
(5)【答案】
2
3
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为
p
,则进行
四次独立的射击,设事件
Y
为“射手命中目标的次数”,
Y
服从参数
80
4, 81
n p
的二项分
布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为
4
(1 )p
,它是至少命中一次的对
立事件.依题意
480 1 2
(1 ) 1 1
81 3 3
p p p
.
本题的另一种分析方法是用随机变量
X
表示独立地进行射击中命中目标的次数,
p
表
示一次射击的命中率,则
(4, )X B p
,依题意
3
4
1
1
0 1 ,
81
k
P X P X k
即
41 2
(1 ) .
81 3
p p
【相关知识点】二项分布的概率公式：
若
( , )Y B n p
,则
(1 )
k k n k
n
P Y k C p p
,
0,1, ,k n
.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】(B)
【解析】由于
sin
2
lim 2
x
x
x e e
,而
2
lim tan
x
x
,所以,
sin
2
lim tan x
x
x x e
,故
( )f x
无界.
或考察
( )f x
在
2 ( 1,2, )
4
n
x n n
的函数值,有
2
2
lim ( ) lim
n n
nn
f x x e
,可见
( )f x
是无界函数.应选(B).
以下证明其他结论均不正确.
由
4
4
4 4 4 4
sin
sin
f e f e
,知(A)不正确；
由
0 0
4 4
f , f
,而
0 0f
,知(D)不正确.
证明(C)不正确可用反证法.
设
sin x
g x tan x e
,于是
g x
的定义域为
0 1 2
2
D x| x k ,k , , , ,
且
g x
的全部零点为
0 1 2
n
x n ,n , , , .
若
f x xg x
以
T
0T
为周期,则
有
x T g x T xg x , x D.
令
0x ,
有
0Tg T ,
即
0g T
.从而
T k
,其中
k
为某一正数.于是
2k
也是
xg x
的周期.代入即得,对
x D
有
2 2 2x k g x k x k g x xg x .
这表明
2 0k g x
在
x D
上成立,于是
0g x
在
x D
上成立,导致了矛盾.故
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