1989数学三考研真题答案解析（试卷四）
2023-12-01
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一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)
(1) 曲线
2
siny x x
在点
(,1 )
22
处的切线方程是
1yx
.
(2) 幂级数
11
n
n
n
x
的收敛域是
[1,1)
.
(3) 齐次线性方程组
0
0
0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
只有零解，则
应满足的条件是
1
.
(4) 设随机变量
X
的分布函数为
( )F x
00
sin 0 / 2
1 / 2
x
A x x
x
若若
若
,则A = 1 ；
P{|x|<
6
}=
2/1
.
(5) 设随机变量X的数学期望EX=μ,方差DX=
2
，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，
有
3 }{
P X
1/9 .
二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)
(1) 设
( ) 2 3 2
x x
f x
, 则当x→0时， (B)
(A)
()fx
与
x
是等价无穷小量 (B)
()fx
与
x
是同阶但非等价无穷小量
(C)
()fx
是比
x
较高阶的无穷小量 (D)
()fx
是比
x
较低阶的无穷小量
(2) 在下列等式中，正确的结果是 (C)
(A)
( ) ( )f xdxf x
(B)
( ) ( )x f xdf
(C)
( ) ( )f xdxf x
dx
d
(D)
( ) ( )f xdxd f x
(4)设.A 和
B 均为
n
n 矩阵 , 则必有 (C)
(A)
A B A B
( B)
AB BA
(C)
AB BA
(D)
1 1 1
( )
A B A B
A
(3)设.
A
是
4 阶矩阵，且
A
的行列式
(A) 必有一列元素全为
0；
(B) 必有两列元素对应成比例；
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.
(C)
1989 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷四）
(C)“甲种产品滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、计算题 (本题满分15分，每小题5分)
(1) 求极限
11
lim(sin cos )x
xxx
解：设
1
ux
，则当
x
时，
0u
.
0
1sin cos )
lim
0
lim(sin cos ) uu
uu
ｕln(
uu
ｕ
原式 ｅ
. „„1分
而
00
ln(sin cos ) cos sin
lim lim 1
sin cos
u u u u
u u u
ｕ ｕ
„„4分
于是原式＝
e
. „„5分
(2) 已知
(, )z f u v
,ux y v xy
，且
(, )f u v
的二阶偏导数都连续, 求
yx
z
2
.
解：
zf u f v
x u x v x
ff
y
uv
„„2分
22 2 2 2
22
z f u f v f u f v f
y
x y u y u v y v u y v y v
„„4分
22 2 2
22
f f f f f
x y xy
u u v v u v v
22 2
22
()
f f f f
x y xy
u u v v v
. „„5分
(3) 求微分方程
x
eyyy
265
的通解.
解：由特征方程为
256 ( 2)( 3) 0r r r r
，知特征根为
2, 3
.„„1分
于是对应齐次微分方程的通解为
23
12
() xx
yx C e C e
.„„2分
其中
12
,CC
为任意常数.设所给非齐次方程的特解为
*() x
yx Ae
.„„3分
将
*()yx
代入原方程，可得
1A
，故所给非齐次微分方程的特解为
*() x
yxe
. „„4分
从而，所给微分方程的通解为
23
12
() xx x
y x Ce C e e
.„„5分
四、（本题满分9分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为
2
() 10 x
p p x e
且最大需求量为6，其中x表示需求量，p表示价格.
（1）求该商品的边际收益函数；（2分）
（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4分）
（3）画出收益函数的图形.（3分）
(5) 以A表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件
A
为 (D)
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销”
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