1988数学三考研真题答案解析（试卷四）
2023-12-01
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一、填空题（本题满分12 分，每空1分）
(一)已知函数
xdtf x e
xt
( ) ,
0
2
12
.
（1）
( )f x
2
2
1t
e
.
（2）
( )f x
的单调性： 单调增加 .
（3）
( )f x
的奇偶性： 奇函数 .
（4）
( )f x
图形的拐点：（0，0）
（5）
( )f x
图形的凹凸性：
0x时上凹（下凸）
,
0x时下凹（上凸）
.
（6）
( )f x
图形的水平渐近线近线：
,
22
yy
(二)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
3
.
(三)
1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
(四)假设
() 0.4 ( ) 0.7P A P A B
，
，那么
（1）若A与B互不相容，则 P（B）=
0.3
.
（2）若A与B相互独立，则 P（B）=
0.5
.
二、（本题满分10 分）（每小题，回答正确得2分，回答错误得-1 分，不回答得0分；
全题最低得0分）
（1）若极限
l ( )
im
0
f x
x x
与
l ( )
im
0
f x
x x
( )g x
都存在，则极限
( )lim
0
g x
x x
必存在. （
）
（2）若
0
x
是函数
( )f x
的极值点，则必有
( ) 0
0
f x
. （
）
（3）等式
a a dxf a xdxf x
0 0
( ) ( ) ,
对任何实数
a
都成立. （
）
（4）若A和B都是
n
阶非零方阵，且 AB=0，则 A的秩必小于
n
.（√）
1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷四）
（5）若事件 A，B，C满足等式
,AC B C
则 A=B. （
）
三、（本题满分16 分，每小题4分.）
(1) 求极限
1
1
lim ln
x
x
x
xx
解一： 此极限为
0
0
型未定式，由罗必塔法则，则
11
(ln 1)
=lim lim 1
ln 1
xx
xx
xx x
x
原式
. „„ 4分
解二： 令
lntx x
，则
xt
xe
.由于当
1x
时，
0t
，可见
00
1
=lim lim 1
tt
tt
ee
t
原式
.„„ 4分
(2) 已知Ｕ＋
xyeu
，求
yx
u
2
.
解：由于
11
uu
uy u x
x e y e
，
， „„ 2分
可见
2
2
1
(1 )
uu
u
u
e ye
uu y
x y y x e
„„ 3分
3
1
1(1 )
u
uu
xye
ee
. „„ 4分
(3) 求定积分
)1(
3
0xx
dx
.
解一： 由于
2( )
dx dx
x
，可见
原式
3
0
2
=1
dx
x
„„ 2分
2
3
.„„ 4分
解二： 令
2,2xt x t dx tdt
，
；当
0x
时，
0t
；当
3x
时，
3t
；
„„ 1分
于是，
3
2
0
2
=1
dt
t
原式
„„ 2分
3
0
2arctan x
„„ 3分
2
3
.„„ 4分
(4) 求二重积分
66
0
cos
y
x
dy dx
x
.
解： 在原式中交换积分次序，得 原式
6
00
cos
xx
dx dy
x
„„ 2分
6
0
=cos xdx
6
0
1
=sin 2
x
„„ 4分
.
四、（本题满分６分，每小题３分）
(1) 讨论级数
1
1
)!( 1
nn
n
n
的敛散性
解：由
11
1
21 1
(2)! ( 2) 2 1
1
( 1) ( 1) 1 1
( 1)!(1 )
nn
n
nn n
n
un n n n n
u n n n n
n
n
，有
1
1
lim lim 2 1 1 1
1
(1
1)
nn
n
nn
n
e
u
un
n
， „„ 2分
故由级数收敛的比值判别法，知
1
1
)!( 1
nn
n
n
收敛. „„ 3分
(2) 已知级数
1
2
n
a
和
2
i
in
b
都收敛，试证明级数
1nn n
a b
绝对收敛.
证： 由于级数
1
2
n
a
和
2
i
in
b
都收敛，所以
22
1
1()
2ii
n
ab
收敛. „„ 2分
而
22
1()
2
nn n n
a b a b
，
故由比较判别法，知级数
1
||
nn
n
ab
收敛，即
1nn n
a b
绝对收敛. „„ 3分
五、（本题满分8分）
已知某商品的需求量Ｄ和供给量都是价Ｐ的函数：
2
() a
DD p p
，
()SS p bp
，
其中 a>0 和b>0是常数：价格 p是时间 t的函数且满足方程
()],[ ( ) (k d p s p
dt
dp
k是常数），
假设当 t=0 时价格为 1.试求：
（1）需求量等于供给量时的均衡价格
e
P
； （2）价格函数
( )p t
； （3）极限
l ( )
im p t
t
.
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