1988数学二考研真题答案解析（试卷三）
2023-12-01
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一、填空题 (本题满分 20 分，每小题 4 分)
(1) 若
2 , 0
0),c
(sin os
( ) 2
x x
e x x x
f x
是
( , )
上的连续函数，则
1
.
(2)
(3)
(4)
0
xx
.
lim( 1 )tgx
1
.
(5)
4
0
x
edx
2
2( 1)e
二、选择题 (本题满分20 分，每小题4分)
(1)
6 1
2
1
3
1
( ) 3 2
f x x x x
的图形在点（0，1）处切线与
x
轴交点的坐标是 (A)
(A)
1
(,0)
6
(B)
(1,0)
(C)
1
(,0)
6
(D)
(1,0)
(2) 若
( )f x
与
( )g x
在
( , )
上皆可导，且
( )f x
〈
( )g x
，则必有 (C)
(A)
() ( )f x g x
(B)
() ( )f x g x
(C)
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
(D)
00
() ( )
Xx
f t dt g t dt
(3)
(4) 曲线
s (0 )
in2
3
y x x
与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转 (B)
(A)
4
3
(B)
4
3
(C)
2
2
3
(D)
2
3
若f(t)=
x
lim
t
(11)2tx
，则
ft()
(2 1)te
2t
设.f(x)是连续函数，且
1
0
3,
xf(t)dt x
则f(7)=
1
12
.
x
若函数y=f(x)有
2
f(x0)1
，则当
x0
时，该函x=
x0
处的微分dy 是 (B)
(A) 与
x
等价的无穷小
(C) 比
x
低阶的无穷小 (B) 与
x
同阶的无穷小
(D) 比
x
高阶的无穷小
(5)设
yf x
()
是方程
y2y4y0
的一个解，若
(
fx)0
，且
f(x0)0
，则函数
fx()
在点
x0
(A)
(A) 取得极大值
(C) 某个邻域内单调增加 (B) 取得极小值
(D) 某个邻域内单调减少
三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)
(1)已知f(x)= e
x2
,f
x()
=1-x,且
(x)
0.求
(x)并写出它的定义域.
[
(x)]21
，得
() ln(1
xx)
.解：由
ex
由
ln(1 x)0
，得
x11
即
x0
.
所以
()x
ln(1
，其定
x)
义域为
(,0).
1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷三）
而
22
(2 ) ( 1)( 1)
xy xy
y e x y xy xy y e x y xy xy
， „„4分
即得
00
0
|2
x
ye e
.„„5分
(3) 求微分方程
( 1)
1 1
2
x x
y
x
y
的通解（一般解）.
解：
11
2
1
(1)
dx dx
xx
y e e dx C
xx
„„3分
2
11
1dx C
xx
„„4分
1arctan xC
x
，其中C是任意常数. „„5分
四、(本题满分12 分)
作函数
2 4
6
2
x x
y
的图形，并填写下表
单调增加区间
单调减少区间
极值点
极值
凹
( )
区间
凸
( )
区间
拐点
渐近线
解： 单调增加区间
(,1)
（1分）
单调减少区间
(1, )
（2分）
极值点 1 （3分）
极值 2 （4分）
凹区间
(,0) (2, ) 及
（6分）
凸区间
(0,2)
（7分）
拐点
33
(0, ) (2, )
22
及
（9分）
渐进线
0y
（10 分）
(2) 已知
y1xexy
，求
yx0
及
y x0
.
解： 显然
x0
时，
y1
.„„1分
()yxexy xyyexy exy (x2yxy1)
. „„2分
因此
0
01
x
ye
； „„3分
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